抛物线y=x^2上取3个不同的点A,B,C,记三角形ABC的外接圆半径为R.1.求证R大于二分之一2.是否存在常数C大于二分之一,使R大于等于C恒成立

Question

抛物线y=x^2上取3个不同的点A,B,C,记三角形ABC的外接圆半径为R.1.求证R大于二分之一
2.是否存在常数C大于二分之一,使R大于等于C恒成立

Answer 1

分析：1.抛物线y=x²上取3个不同的点A,B,C,当△ABC的外接圆圆心在y轴上时,并且过抛物线的顶点O(0,0),其半径可以达到最小,设圆的方程为x²+(y-R)²=R² 【圆心(0,R),半径R】
组成方程组 y=x²
x²+(y-R)²=R² 消去x,化简得到y²-(2R-1)y=0
解得y=0【对应一个交点,圆点】,或y=2R-1【对应对称的两个交点】
要求y=2R-1＞0,得到R＞1/2 得证；
2.由1知,只要R＞1就可以,所以不存在常数C大于二分之一,使R大于等于C恒成立