已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2．（1）求函数f（x）在[t，2t]（t＞0）上的单调区间；（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2-x1＜ln2，求实数a的取值范围

Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2．
（1）求函数f（x）在[t，2t]（t＞0）上的单调区间；
（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₂-x₁＜ln2，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=1e，∴f（x）在(0，1e)上递减，在(1e，+∞)上递增．（i）当0＜t≤12e时，函数f（x）在[t，2t]上递减；（ii）当12e＜t＜1e时，函数f（x）在[t，1e]上递减，在[1e，2t]上递增；（iii）...