已知f(x)=x(x-a)(x-b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t))．(Ⅰ)若a=b=1，求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)若函数f(x)的导函数f'(x)满足：当|x|≤1时，有恒成立，求函数f(x)的解析表达式；(Ⅲ)若0<a<b，函数f(x)

Question

已知f(x)=x(x-a)(x-b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t))．
(Ⅰ)若a=b=1，求函数f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)若函数f(x)的导函数f'(x)满足：当|x|≤1时，有恒成立，求函数f(x)的解析表达式；
(Ⅲ)若0<a<b，函数f(x)在x=s和x=t处取得极值，且，证明：与不可能垂直．____

Answer 1

【分析】(Ⅰ)由题意可得：f'(x)=3x²-4x+1，令f'(x)≥0即可得到函数的单调递增区间．
(Ⅱ)由题可得：故有≤f'(1)≤，≤f'(-1)≤，及≤f'(0)≤，结合不等式的有关性质可得：ab=，进而得到a+b=0，即可得到函数的解析式．
(Ⅲ)假设⊥，即=st+f(s)f(t)=0，即有-1[st-(s+t)a+a²][st-(s+t)b+b²]=-1，结合题中条件s+t=(a+b)，st=，可得ab(a-b)²=9，再利用基本不等式推出矛盾，进而得到答案．

(Ⅰ)由题意可得：f(x)=x³-2x²+x，
所以f'(x)=3x²-4x+1，
令f'(x)≥0得3x²-4x+1≥0，解得
故f(x)的增区间和[1，+∞)；
(Ⅱ)由题意可得：f'(x)=3x²-2(a+b)x+ab，
并且当x∈[-1，1]时，恒有|f'(x)|≤．
故有≤f'(1)≤，≤f'(-1)≤，及≤f'(0)≤，
即
①+②，得≤ab≤，
又由③，得ab=，将上式代回①和②，得a+b=0，
故．
(Ⅲ)假设⊥，即=(s，f(s))•(t，f(t))=st+f(s)f(t)=0
所以有：(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1[st-(s+t)a+a²][st-(s+t)b+b²]=-1，
由s，t为f'(x)=0的两根可得，s+t=(a+b)，st=，(0<a<b)
从而有ab(a-b)²=9．
这样
即a+b≥2，这与a+b<2矛盾．
故与不可能垂直．

【点评】本题考查导数的应用，以及不等式的有关解法与性质，并且此题也考查了向量的数量积与根与系数的关系、基本不等式等知识点，是一道综合性较强的题型，属于难题．对学生分析问题，解决问题的能力要求较高．