若函数f（x）定义域内有两个任意实数x1，x2（x1≠x2），若f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2恒成立，则称为f（x）凹函数；若满足f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2恒成立，则称函数f（x）为凸函数，试证明：任一指数函

Question

若函数f（x）定义域内有两个任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），若f((x1+x2)/(2))<(f(x1)+f(x2))/(2)恒成立，则称为f（x）凹函数；若满足f((x1+x2)/(2))>(f(x1)+f(x2))/(2)恒成立，则称函数f（x）为凸函数，试证明：任一指数函数f（x）=a^x（a>0，a≠1）都是凹函数．

Answer 1

证明：若f（x）=a^x（a>0，a≠1）
则任取两个实数x₁，x₂（x₁≠x₂），
f((x1+x2)/(2))=a(x1+x2)/(2)=√(ax1+x2)=√(ax1•ax2)，
(f(x1)+f(x2))/(2)=(ax1+ax2)/(2)，
由函数f（x）的值域为（0，+∞），可得：ax1>0，ax2>0，
由基本不等式可得√(ax1•ax2)<(ax1+ax2)/(2)，即f((x1+x2)/(2))<(f(x1)+f(x2))/(2)恒成立，
故f（x）凹函数；