已知函数f(x) =lnx+2a/x,a∈R.⑴若函数f ﹙x﹚在[2,﹢∞)上是增函数,求实数a的取值范围⑵若已知函数f(x) =lnx+2a/x,a∈R1⑴若函数f ﹙x﹚在[2,﹢∞)上是增函数,求实数a的取值范围⑵若函数f ﹙x

Question

已知函数f(x) =lnx+2a/x,a∈R.⑴若函数f ﹙x﹚在[2,﹢∞)上是增函数,求实数a的取值范围⑵若
已知函数f(x) =lnx+2a/x,a∈R1
⑴若函数f ﹙x﹚在[2,﹢∞)上是增函数,求实数a的取值范围
⑵若函数f ﹙x﹚在[1,e ]上的最小值为3,求实数a的值赞

Answer 1

(1)求导f`(x)=1/x-2a/x^2.(x>0)这表明f`(x)在[2,+ ∞)>=0.且不恒等于0.解得：a属于(-∞,2]
(2)根据(1)的导函数.考虑在[1,e]上是否有极值.若无极值.则f`(x)在[1,e]上恒不为0.此时有：
f`(x)>0或f`(x)<0.当f`(x)>0时.最小值在x=1处取得.ln1+2a=3;解得：a=1.5.但在[1,e],此时f`(x)<0.矛盾.当f`(x)>0时.最小值在x=e处取得.lne+2a/e=3.解得：a=e.但x=e,此时f`(e)<0.矛盾.
故其在[1,e]必有极值.极小值点为x=2a.带入得.ln(2a)+1=3.解得a=e^2/2.同时为最小值.