已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；（Ⅱ）若a＞0，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）证明：ln222+ln332+…+lnnn2＜2n2−n+14(n+1)（n∈N+，n≥2）

Question

已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：(ln2)/(22)+(ln3)/(32)+…+(lnn)/(n2)＜(2n2−n+1)/(4(n+1))（n∈N⁺，n≥2）

Answer 1

（Ⅰ）a=1时，f（x）=|x-1|-lnx    （x＞0）
当0＜x≤1，f（x）=1-（x+lnx），f′（x）=-1-(1)/(x)＜0，所以f（x）在（0，1]上单调递减；
当x＞1，f（x）=x-（1+lnx），f′（x）=1-(1)/(x)=(x−1)/(x)＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，f（x）的最小值为f（1）=0；
（Ⅱ）若a≥1，当x≥a时，f（x）=x-a-lna，f′（x）=1-(1)/(x)=(x−1)/(x)≥0，∴f（x）在区间[a，+∞）上单调递增；
当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-(1)/(x)＜0，所以f（x）在（0，a）上单调递减；
若0＜a＜1，当x≥a时，f（x）=x-a-lna，f′（x）=1-(1)/(x)=(x−1)/(x)，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0
∴f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，（a，1）上单调递减；
当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-(1)/(x)＜0，所以f（x）在（0，a）上单调递减；
而f（x）在x=a处连续，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，（0，1）上单调递减
综上，当a≥1时，f（x）的递增区间是（a，+∞），递减区间是（0，a）；当0＜a＜1时，f（x）的递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知，当a=1，x＞1时，f（x）≥0，∴1-（x+lnx）≥0，∴lnx≤x-1．
∵x＞0，∴(lnx)/(x)≤1−(1)/(x)
∵n∈N₊，n≥2，令x=n²，得(lnn)/(n2)≤(1)/(2)(1−(1)/(n2))，
∴(ln2)/(22)+(ln3)/(32)+…+(lnn)/(n2)≤(1)/(2)（1-(1)/(22)+1-(1)/(32)+…+1-(1)/(n2)）
=(1)/(2)[n-1-（(1)/(22<作业帮用户2017-09-19问题解析（Ⅰ）a=1时，f（x）=|x-1|-lnx，将绝对值符号化去，分类讨论，再求导函数，即可确定函数的单调区间，进而可得f（x）的最小值；（Ⅱ）将绝对值符号化去，分类讨论，再求导函数，即可确定函数的单调区间；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，lnx≤x-1，从而(lnx)/(x)≤1−(1)/(x)，令x=n2，可得(lnn)/(n2)≤(1)/(2)(1−(1)/(n2))，再进行叠加，利用放缩法，即可证得结论成立．名师点评本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．考点点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，体现了转化的数学思想，其中，用放缩法证明不等式 是解题的难点．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)