设连续函数f（x）在[1，+∞）单调减少，且f（x）＞0，若un=nk＝1f（k）-∫n1f（x）dx，证明：limn→∞un存在．

Question

设连续函数f（x）在[1，+∞）单调减少，且f（x）＞0，若u_n=

n

k＝1

f（k）-

∫

n 1

f（x）dx，证明：

lim

n→∞

u_n存在．

Answer 1

证明：
∵函数f（x）在[1，+∞）上连续，
∴对于∀n∈N⁺，f（x）在闭区间[n，n+1]是连续的，从而中值定理成立．
从而：un+1−un＝

n+1

k＝1

f(k)−

n

k＝1

f(k)−

∫

n+1 1

f(x)dx+

∫

n 1

f(x)dx=f(n+1)−

∫

n+1 n

f(x)dx＝f(n+1)−f(ξ)，其中ξ∈（n，n+1），
由f（x）在x＞1时连续且单调减小知：f（n+1）≤f（ξ），
∴u_n+1≤u_n，∀n∈N⁺成立，
从而数列{u_n}单调减小，
又：
un＝f(1)+f(2)+…+f(n)−

∫

n 1

f(x)dx

＝[f(1)−

∫

2 1

f(x)dx]+[f(2)−

∫

3 2

f(x)dx]+…+[f(n−1)−

∫

n n−1

f(x)dx]+f(n)

＞[f(1)−

∫

2 1

f(1)dx]+[f(2)−

∫

3 2

f(2)dx]+…+[f(n−1)−

∫

n n−1

f(n−1)dx]+f(n)

＝f(n)＞0

从而：{u_n}有下界，
由单调有界原理知：极限

lim

n→∞

un存在，证毕．