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设连续函数f(x)在[1,+∞)单调减少,且f(x)>0,若un=nk=1f(k)-∫n1f(x)dx,证明:limn→∞un存在.
题目详情
设连续函数f(x)在[1,+∞)单调减少,且f(x)>0,若un=
f(k)-
f(x)dx,证明:
un存在.
n |
![]() |
k=1 |
∫ | n 1 |
lim |
n→∞ |
▼优质解答
答案和解析
证明:
∵函数f(x)在[1,+∞)上连续,
∴对于∀n∈N+,f(x)在闭区间[n,n+1]是连续的,从而中值定理成立.
从而:un+1−un=
f(k)−
f(k)−
f(x)dx+
f(x)dx=f(n+1)−
f(x)dx=f(n+1)−f(ξ),其中ξ∈(n,n+1),
由f(x)在x>1时连续且单调减小知:f(n+1)≤f(ξ),
∴un+1≤un,∀n∈N+成立,
从而数列{un}单调减小,
又:
un=f(1)+f(2)+…+f(n)−
f(x)dx
从而:{un}有下界,
由单调有界原理知:极限
un存在,证毕.
∵函数f(x)在[1,+∞)上连续,
∴对于∀n∈N+,f(x)在闭区间[n,n+1]是连续的,从而中值定理成立.
从而:un+1−un=
n+1 |
![]() |
k=1 |
n |
![]() |
k=1 |
∫ | n+1 1 |
∫ | n 1 |
∫ | n+1 n |
由f(x)在x>1时连续且单调减小知:f(n+1)≤f(ξ),
∴un+1≤un,∀n∈N+成立,
从而数列{un}单调减小,
又:
un=f(1)+f(2)+…+f(n)−
∫ | n 1 |
|
从而:{un}有下界,
由单调有界原理知:极限
lim |
n→∞ |
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