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设f(x)是连续函数,(1)利用定义证明函数F(x)=∫x0f(t)dt可导,且F′(x)=f(x).(2)当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt-x∫02f(t)dt也是以2为周期的
题目详情
设f(x)是连续函数,
(1)利用定义证明函数F(x)=
f(t)dt可导,且F′(x)=f(x).
(2)当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt-x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数.
(1)利用定义证明函数F(x)=
∫ | x 0 |
(2)当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt-x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵F(x)=
f(t)dt,其中f(x)是连续函数
∴F′(x)=
=
其中ξ∈(x,x+△x),当△x→0时,ξ→x
∴F′(x)=f(x)
=f(x)
(2)∵G(x)=2∫0xf(t)dt-x∫02f(t)dt
∴G(x+2)=2
f(t)dt−(x+2)
f(t)dt
∴G(x+2)−G(x)=2
f(t)dt−2
f(t)dt=
∴[G(x+2)-G(x)]′=2[f(x+2)-f(x)]
而f(x)是以2为周期的周期函数
∴f(x+2)-f(x)=0
∴[G(x+2)-G(x)]′=0
∴G(x+2)-G(x)=C
又当x=0时,G(2)−G(0)=2
f(t)dt−2
f(t)dt=0
∴C=0
即G(x)=G(x+2)
∴G(x)是以2为周期的周期函数
∫ | x 0 |
∴F′(x)=
lim |
△x→0 |
F(x+△x)−F(x) |
△x |
lim |
△x→0 |
| ||
△x |
积分中值定理 |
. |
lim |
△x→0 |
f(ξ)△x |
△x |
其中ξ∈(x,x+△x),当△x→0时,ξ→x
∴F′(x)=f(x)
lim |
△x→0 |
△x |
△x |
(2)∵G(x)=2∫0xf(t)dt-x∫02f(t)dt
∴G(x+2)=2
∫ | x+2 0 |
∫ | 2 0 |
∴G(x+2)−G(x)=2
∫ | x+2 x |
∫ | 2 0 |
∴[G(x+2)-G(x)]′=2[f(x+2)-f(x)]
而f(x)是以2为周期的周期函数
∴f(x+2)-f(x)=0
∴[G(x+2)-G(x)]′=0
∴G(x+2)-G(x)=C
又当x=0时,G(2)−G(0)=2
∫ | 2 0 |
∫ | 2 0 |
∴C=0
即G(x)=G(x+2)
∴G(x)是以2为周期的周期函数
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