设元线性方程组Ax=b，其中设矩阵A=2a1a22a1a22a1⋱⋱a22a1a22a，x=x1x2⋮xn，b=10⋮0．（1）证明行列式|A|=（n+1）an．（2）当a为何值，方程组有唯一解，求x1．（3）当a为何值，方程组

Question

设 元线性方程组Ax=b，其中

设矩阵A=

2a	1
a2	2a	1
	a2	2a	1
		⋱	⋱
			a2	2a	1
				a2	2a

，x=

x1

x2

⋮

xn

，b=

1

0

⋮

0

．
（1）证明行列式|A|=（n+1）aⁿ．
（2）当a为何值，方程组有唯一解，求x₁．
（3）当a为何值，方程组有无穷多解，求通解．

Answer 1

（1）证明：用数学归纳法证明．
当n=1时，|A₁|=2a，结论成立；
当n=2时，|A₂|=

.

2a	1
a2	2a

.

＝3a2，结论成立；
假设结论对小于n的情况成立．将|A|按第一行展开得
|A_n|=2a|A_n-1|−

.

a2	1
0	2a	1
	a2	2a	a
		⋱	⋱	⋱
			a2	2a	1
				a2	2a

.

n−1=2a|An−1|−a2|An−2|═2a•na^n-1-a²（n-1）a^n-2=（n+1）aⁿ
所以，|A|=（n+1）aⁿ
（2）由克莱姆法则知，当方程组的系数行列式|A|≠0时，方程组有唯一解，即：a≠0时，有唯一解．
且x1＝(D1)/(D)（其中D为系数行列式|A|，D₁是将D的第一列换成了方程组右端的常数项）
又D₁=

.

1	1
0	2a	1
	a2	2a	a
		⋱	⋱	⋱
			a2	2a	1
				a2	2a

.

=|An−1|＝nan−1
∴x1＝(nan−1)/((n+1)an)＝(n)/((n+1)a)
（3）由克莱姆法则知，当方程组的系数行列式|A|=0时，方程组有无穷多解，即：a=0时，有无穷解．
此时，线性方程组为：

0	1
	0	1
		⋱	⋱
			0	1
				0

x1

x2

⋮

xn−1

xn

＝

1

0

⋮

0

0

由于R（A）=n-1，所以导出组AX=0的基础解系含有一个解向量，取x₁为自由变量，并令x₁=1，得到导出组的基础解系
ξ=（10…0）^T
令x₁=0，得到非齐次线性方程组的一个特解
η^*=（010…0）^T
∴通解X=cξ+η^*，其中c为任意常数