已知a为任意整数,证明代数式1/4a^4+1/2a^3+1/4a^2的值一定为整数,且为一个完全平方数

Question

已知a为任意整数,证明代数式1/4a^4+1/2a^3+1/4a^2的值一定为整数,且为一个完全平方数

Answer 1

因为
1/4a^4+1/2a^3+1/4a^2
=1/4(a^4+2a^3+a^2)
=1/4*a^2*(a^2+2a+1)
=1/4*a^2*(a+1)^2
=1/4*[(a(a+1)]^2
=[1/2a(a+1)]^2
注意到a是整数时,a与a+1是两个连续的整数,连续整数中必有一个是偶数,所以1/2a(a+1)必为整数.
因此上式是一个整数的平方.即代数式1/4a^4+1/2a^3+1/4a^2 的值一定是整数,且为完全平方数.