有俩非零多项式f（x）和g（x）已知f（g（x））=f（x）*g（x）g（2）=37求g（3）=啥

Question

有俩非零多项式f（x） 和 g（x） 已知f（g（x））=f（x）*g（x） g（2）=37 求g（3）=啥

Answer 1

假设f(x)最高项次数为An*x^n g(x)最高项次数为Bm*x^m
f(g(x))最高项为An*Bm^n*x^mn
f(x)*g(x)最高项为An*Bm*x^(m+n)
(1)An=0,即f(x)=常数,得出g(x)=1或f(x)=0,矛盾
(2)Bm=0,即g(x)=常数,f(37)=f(x)*37,f(x)=0,矛盾
(3)Bm=1,mn=m+n,m=n=2,设f(x)=ax^2+bx+c,g(x)=x^2+dx+e,代入f(g(x))=f(x)*g(x)
对应系数得到四个等式
b=d
ae+b=ac
b(ae+b)=bc
ae^2+be+c=ace
解1：b=c=d=e=0,不满足g(2)=37
解2：a=1,c=0,d=b=-e,由g(2)=37得b=d=33,e=-33,g(3)=75