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如图,椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A,B分别是椭圆的右顶点和上顶点,点M在线段AB上,满足BM=2MA,直线OM的斜率为14.(1)求椭圆E的离心率e;(2)设点C的坐标
题目详情
如图,椭圆E的方程为
+
=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A,B分别是椭圆的右顶点和上顶点,点M在线段AB上,满足BM=2MA,直线OM的斜率为
.

(1)求椭圆E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为
,求椭圆E的方程.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
4 |

(1)求椭圆E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为
11 |
5 |
▼优质解答
答案和解析
(1)设A(a,0),B(0,b),
∵BM=2MA,由比例性质可得M(
,
),
又∵直线OM的斜率为
,
∴
=
,即
=
,
∴a=2b,a2=4b2=4(a2-c2),则e=
=
;
(2)∵C(0,-b),A(2b,0),
则由中点坐标公式可得N(b,-
),
直线AB:
+
=1,即x+2y-2b=0.
设N关于直线AB的对称点是N′(x0,
),
则
,消去x0得b=2,则a=2b=4.
椭圆方程为:
+
=1.
∵BM=2MA,由比例性质可得M(
2a |
3 |
b |
3 |
又∵直线OM的斜率为
1 |
4 |
∴
| ||
|
1 |
4 |
2a |
3 |
4b |
3 |
∴a=2b,a2=4b2=4(a2-c2),则e=
c |
a |
| ||
2 |
(2)∵C(0,-b),A(2b,0),
则由中点坐标公式可得N(b,-
b |
2 |
直线AB:
x |
2b |
y |
b |
设N关于直线AB的对称点是N′(x0,
11 |
5 |
则
|
椭圆方程为:
x2 |
16 |
y2 |
4 |
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