PAPBPC两两垂直,且相等,G是三角形PAB的重心,E是BC上的一点,且BE=1/3BC,F是PB上的一点,求证（1）GF垂直平面PBC（2)EF垂直BC

Question

PAPBPC两两垂直,且相等,G是三角形PAB的重心,E是BC上的一点,且BE=1/3BC,F是PB上的一点,
求证（1）GF垂直平面PBC（2)EF垂直BC

Answer 1

证明：（1）连接BG和PG,并延长分别交PA、AB于M和D,在△PBM中,
∵PF=1/3 PB,G是△PAB的重心,
∴MG=1/3 BM,
∴GF∥PM．又PA⊥PB,PA⊥PC,
∴PA⊥平面PBC,则GF⊥平面PBC．
（2）在EC上取一点Q使CQ=1/3 BC,
连接FQ,又PF=1/3 PB,
∴FQ∥PC．
∵PB=PC,
∴FB=FQ．
∵BE=1/3 BC,
∴E是BQ的中点,
∴FE⊥BQ,即FE⊥BC．