[已知a+b+c=6,且a,b,c>0,求证:(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=125/8][已知a+b+c=6,且a,b,c>0,求证:(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=125/8.]已经可以肯定的是当a=b=c=2的时候取"="号.可参考两个字母时的证明过程,但不要被这个思路卡

Question

[已知a+b+c=6,且a,b,c>0,求证:(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=125/8]
[已知a+b+c=6,且a,b,c>0,求证:(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=125/8.]
已经可以肯定的是当a=b=c=2的时候取"="号.
可参考两个字母时的证明过程,但不要被这个思路卡死...
对于两个字母的情况:
[已知a+b=4,a,b>0,求证:(a+1/a)*(b+1/b)>=25/4.]
证明:
由于a,b>0,因此
待证不等式
<=>(a^2+1)*(b^2+1)>=(25/4)a*b
<=>a^2*b^2+a^2+b^2+1>=(25/4)a*b
<=>(a*b)^2+(a+b)^2-2a*b+1>=(25/4)a*b
又a+b=4,所以
待证不等式
<=>(a*b)^2-(33/4)a*b+17>=0
令f(x)=x^2-(33/4)x+17=(x-33/8)^2+17-(33/8)^2
由基本不等式,有
0而函数f(x)在区间(0,33/8]上是单调递减的,
所以有
f(a*b)>=f(4)=0,
即(a*b)^2-(33/4)a*b+17>=0,
由上述分析可知,待证不等式是成立的.
证毕.
注：x^2 表示是x的平方
我原告得到的是三个字母的情况,但就是证不出来,然后就试着从简单的两个字母研究了一下,得到上面的结果,但三个字母的情况还是证不出来.希望有高手指教一下,先谢谢了.

Answer 1

用拉各朗日乘数法：
取L(a,b,c,p)=(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)+p*(a+b+c-6);
分别对L求a b c p的偏导数,且令起为0
可以解出L取最小值是 a,b,c,p的值后带入(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)
则得(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=125/8