设a,b,c为满足a+b+c=1的正实数,证明:a3√1+b-c+b3√1+c-a+c3√1+a-b≤1设a,b,c为满足a+b+c=1的正实数,证明:a3√(1+b-c)+b3√(1+c-a)+c3√(1+a-b)≤13√为三次根号

Question

设a,b,c为满足a+b+c=1的正实数,证明:a3√1+b-c+b3√1+c-a+c3√1+a-b≤1
设a,b,c为满足a+b+c=1的正实数,证明:a3√(1+b-c)+b3√(1+c-a)+c3√(1+a-b)≤1
3√为三次根号

Answer 1

思路:将根式内表达式换为积的形式,多利用a+b+c=1这个重要的已知条件作为因子,通过均值不等式完成证明.
a+b+c=1,且a,b,c>0,则1+b-c>=0.
对a3√(1+b-c)有,3√(1+b-c)= 3√[(1+b-c)(a+b+c)(a+b+c)]≤[(1+b-c)+(a+b+c)+(a+b+c)]/3=(2+a+2b)/3.于是a3√(1+b-c)≤(2a+a^2+2ab)/3.
同理b3√(1+c-a)≤(2b+b^2+2bc)/3.
c3√(1+a-b)≤(2c+c^2+2ca)/3.
故a3√(1+b-c)+b3√(1+c-a)+c3√(1+a-b)≤(2a+a^2+2ab)/3+(2b+b^2+2bc)/3+(2c+c^2+2ca)/3=(2a+2b+2c+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/3=[2+(a+b+c)^2]/3=1.
等号当且仅当a=b=c=1/3时成立.