已知椭圆C的离心率根号2/2且椭圆C的左焦点F1与抛物线y^2=-4x的焦点重合.2.若点f1-1,0),f2(1,0)到一斜率存在的动直线l的距离之积为1,试问直线l是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.

Question

已知椭圆C的离心率根号2/2 且椭圆C的左焦点F1与抛物线y^2=-4x的焦点重合.2.若点f1
-1,0),f2(1,0)到一斜率存在的动直线l的距离之积为1,试问直线l是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.

Answer 1

郭敦顒回答：
（1）椭圆C的离心率e= c/ a=（1/2）√2
抛物线y²=－4x=2px,的焦点（p/2,0）（p＜0）,p=－2,p/2=－1
椭圆C的左焦点为F1（－1,0）,c=1,a=1/[（1/2）√2] =√2,
∴a²=2,b²= a²－c²=1
椭圆C的方程是x²/2+y²=1.
（2）焦点F1（－1,0）,F2（1,0）到一有斜率的直线l距离之积
F1P1•F2P2=1,F1P1⊥直线l,F2P2⊥直线l,
由x²/2+y²=1,y=√（1－x²/2）
直线l的斜率k=y′=（1/2√（1－x²/2）
若直线l切于上（或下）顶点,则F1P1=F2P2=1,F1P1•F2P2=1,
直线l∥X轴,y=1,没有斜率,不符合条件,
若直线l切于右（或左）顶点,则F1P1=3,F2P2=1,P1,P2重合于右顶点,
F1P1•F2P2=3,不符合条件,
显然,直线l与椭圆C的切点若不在4个顶点上,则F1P1•F2P2的取值范围是（1,3）,从而直线l与椭圆C没有唯一的公共点.