请问：如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦请问：如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,

Question

请问：如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦
请问：如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4（根号2+1）,一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点(1)求椭圆和双曲线的标准方程（2）设直线PF1,PF2的斜率分别为K1,K2,证明KI*K2=13、是否存在常数t,使得|AB|+|CD|=t|AB|*|CD|恒成立?若存在,求t.
请问第三问!

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知,椭圆离心率为c/a=√2/2,及椭圆的定义得到又2a+2c=4(√2+1),解方程组即可求得椭圆的方程,等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（Ⅱ）设点P（x0,y0）,根据斜率公式求得k1、k2,把点P（x0,y0）在双曲线上,即可证明结果；
（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2）,则可求出直线CD的方程为y=1/k （x-2）,联立直线和椭圆方程,利用韦达定理,即可求得|AB|,|CD|,代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|,求得λ的值．

（Ⅰ）由题意知,椭圆离心率为c/a=√2/2,得a=√2c,又2a+2c=4(√2+1),
所以可解得a=2√2,c=2,所以b²=a²-c²=4,
所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/4=1；
所以椭圆的焦点坐标为（±2,0）,
因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,
所以该双曲线的标准方程为x²/4-y²/4=1．
（Ⅱ）设点P（x0,y0）,
则k1=y0/﹙x0+2﹚,k2=y0/﹙x0-2﹚,
∴k1•k2=y0/﹙x0+2﹚•y0/﹙x0-2﹚=y0²/﹙x0²-4﹚,
又点P（x0,y0）在双曲线上,
∴x0²/4-y0²/4=1,即y0²=x0²-4,
∴k1•k2=y0²/﹙x0²-4﹚=1．
（Ⅲ）假设存在常数λ,使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立,
则由（II）知k1•k2=1,
∴设直线AB的方程为y=k（x+2）,则直线CD的方程为y=1/k （x-2）,
由方程组
y=k(x+2)
x²/8+y²/4=1
消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则由韦达定理得,x1+x2=-8k²/﹙1+2k²﹚,x1•x2=﹙8k²-8﹚/﹙2k²+1﹚,
∴AB=√﹙1+k²﹚√[(x1+x2)²-4x1x2]
=[4√2 (1+k²)]/﹙2k²+1﹚,
同理可得CD=√[1+(1/k)²]√[(x1+x2)²-4x1x2]
=[4√2 (1+1/k²)]/﹙2/k²+1﹚
=[4√2 (1+k²)]/﹙k²+2﹚,
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|,
∴λ=1/|AB|+1/|CD|
=[4√2 (1+k²)]/﹙2k²+1﹚-[4√2 (1+k²)]/﹙2k²+1﹚
=﹙3+3k²﹚/[4√2 (k²+1)]
=3√2/8,
∴存在常数λ=3√2/8,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

点评：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

有疑问可以追问哦,.