已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>C)的离心率是根号6/3,F是其左焦点,若直线x-根号6y=0与椭圆交于AB两点,且已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>C)的离心率是根号6/3,F是其左焦点，若直线x-根号6y=0与椭圆交于AB两点

Question

已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>C)的离心率是根号6/3,F是其左焦点,若直线x-根号6y=0与椭圆交于AB两点,且
已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>C)的离心率是根号6/3,F是其左焦点，若直线x-根号6y=0与椭圆交于AB两点，且FA的向量乘FB的向量=-1，求该椭圆的方程

Answer 1

这道题首先看 FA的向量乘FB的向量=-1,设焦点F为(-c,0),A为(x1,y1),B为(x2,y2)
那么根据FA的向量乘FB的向量=-1可得,(x1+c)*(x2+c)+y1*y2=-1
同时将直线方程和椭圆方程联立可得：[1/(6b^2)+1/a^2]*x^2-1=0
(x1+c)*(x2+c)+y1*y2=x1*x2+c(x1+x2)+c^2+y1*y2,同时A,B在直线x-√6y=0上,那么由x,y的关系式可得x1*x2+c(x1+x2)+c^2+y1*y2=7/6(x1*x2)+c(x1+x2)=-1
因为A,B是交点,因此x1.x2应该为联立方程的解,所以由韦达定理可得
x1+x2=0,x1*x2=-1/[1/(6b^2)+1/a^2],代入上式,可得1/（b^2）+6/(a^2)=7
同时离心率为√6/3=c/a,而对椭圆有a^2-b^2=c^2,联立这三个方程就可以解出a^2=9/7,b^2=3/7
所以椭圆方程为(X^2)/(9/7)+(y^2)/(3/7)=1.