如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点2010-12-19|分享如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,以该椭圆上的点和椭圆的

Question

如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点
2010-12-19 | 分享
如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4（根号2+1）,一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点(1)求椭圆和双曲线的标准方程（2）设直线PF1,PF2的斜率分别为K1,K2,证明KI*K2=1 （3）是否存在常数入使得|AB|+|CDl=入|AB|乘|CD|恒成立

Answer 1

（1）PF1+PF2+F1F2=2a+2c=4(√2+1),c/a=√2/2,∴ c=2,a=2√2；b=2；
椭圆方程为 (x²/8)+(y²/4)=1；
椭圆焦点 (±2,0),按题给条件双曲线的实半轴 a=2,故该等轴双曲线的方程为 (x²/4)-(y²/4)=1；
（2）设坐标P(x,y),则 k1=y/(x+2)、k2=y/(x-2)；k1*k2=y²/(x²-4)；
因P在双曲线上,所以 x²-4=y²,故 k1*k2=y²/y²=1；
（3）无配图片,A、B、C、D不知在何位置；所求式子可化为 (1/|AB|)+(1/|CD|)=常数λ；