已知圆系方程x2+y2-2ax+4ay-5=0(a∈R).(1)求证：此圆系必过定点.(2)求此圆系圆心的轨迹方程.(3)此圆系是否有公切线?若有,求出公切线方程;若没有,请说明理由

Question

已知圆系方程x2+y2-2ax+4ay-5=0(a∈R).(1)求证：此圆系必过定点.(2)求此圆系圆心的轨迹方程.
(3)此圆系是否有公切线?若有,求出公切线方程;若没有,请说明理由

Answer 1

(x-a)^2 + (y+2a)^2 = 5a^2+5,整理为a的方程:(2x-4y)a = x^2+y^2-5
观察方程可得
定点必然满足2x-4y=0且x^2+y^2-5=0,有两个定点(2,1)和(-2,-1)
圆心轨迹方程{x=a,y=-2a},即2x+y=0
如果存在公切线,设方程Ax+By+C=0,对任意a,满足该直线到圆心的距离等于圆的半径
也就是(aA-2aB+C)^2 / (A^2+B^2) = 5a^2+5
展开后写成关于a的方程并整理得:(4A^2+4AB+B^2)a^2 - 2C(A-2B)a + 5A^2+5B^2-C^2 = 0
由于该式对任意a成立,所以关于a的方程的各项系数均为0
4A^2+4AB+B^2 = C(A-2B) = 5A^2+5B^2-C^2 = 0
由最后一个等式知C不等于0(否则A,B都是0),再由前两个等式分别可以得到 2A+B = 0 = A-2B
必然有A=B=0,矛盾,所以不存在公切线
(直观上,所有圆过两个定点,且两侧的圆半径比较大,中间的比较小,显然没有公切线)