在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y-3，x-2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y-4），关于y轴的对称点为A2．（1）求A1、A2的坐标；（2）证明：O为线段A1A2的中点．

Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y-3，x-2y），它关于x轴的对称点A₁的坐标为（x+3，y-4），关于y轴的对称点为A₂．
（1）求A₁、A₂的坐标；
（2）证明：O为线段A₁A₂的中点．

Answer 1

（1） ∵点A（2x+y-3，x-2y）与A₁（x+3，y-4）关于x轴对称，
∴

2x+y-3=x+3

x-2y=-(y-4)

，
解得

x=5

y=1

，
所以，A（8，3），
所以，A₁（8，-3），A₂（-8，3）；

（2）证明：设经过O、A₁的直线解析式为y=kx，
易得：y_OA1=-(3)/(8)x，
又∵A₂（-8，3），
∴A₂在直线OA₁上，
∴A₁、O、A₂在同一直线上，
由勾股定理知OA₁=OA₂=√(82+32)=√(73)，
∴O为线段A₁A₂的中点．