已知i是虚数单位，且复数z满足（z-3）（2-i）=5．（Ⅰ）求z及|z-2+3i|；（Ⅱ）若z•（a+i）是纯虚数，求实数a的值．

Question

已知i是虚数单位，且复数z满足（z-3）（2-i）=5．
（Ⅰ）求z及|z-2+3i|；
（Ⅱ）若z•（a+i）是纯虚数，求实数a的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵（z-3）（2-i）=5，
∴z=(5)/(2-i)+3=(5(2+i))/((2-i)(2+i))+3=（2+i）+3=5+i       …（4分）
∴|z-2+3i|=|3+4i|=√(32+42)=5；       …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=5+i，
∴z•（a+i）=（5+i）（a+i）=（5a-1）+（a+5）i；  …（10分）
又z•（a+i）是纯虚数，
∴5a-1=0且a+5≠0；
解得a=(1)/(5)．     …（12分）