设正整数m，n满足1＜n≤m，F1，F2，F3，…，Fk为集合{1，2，3，…，m}的n元子集，且1≤i＜j≤k．（1）若∀a，b∈Fk，满足|a-b|＞1．（i）求证：n≤m+12；（ii）求满足条件的集合Fk的个数；（2）

Question

设正整数m，n满足1＜n≤m，F₁，F₂，F₃，…，F_k为集合{1，2，3，…，m}的n元子集，且1≤i＜j≤k．
（1）若∀a，b∈F_k，满足|a-b|＞1．
（i）求证：n≤(m+1)/(2)； 
（ii）求满足条件的集合F_k的个数；
（2）若F_i∩F_j中至多有一个元素，求证：k≤(m(m−1))/(n(n−1))．

Answer 1

（1）（i）证明：设F_k={a₁，a₂，…，a_n}，其中1≤a₁＜a₂＜…＜a_n≤m，
则a₂-a₁≥2，a₃-a₂≥2，…，a_n-a_n-1≥2，
累加得m-1≥a_n-a₁≥2（n-1），
即n≤(m+1)/(2)；　　　　　　　　　　　　　　　…（3分）
（ii）从m个元素中，任取n个元素，由题设可知，这n个元素任意两个元素都不是相邻的自然数，将剩下的m-n个元素排序，共形成m-n+1空档，将n个元素放回m-n+1个空档中，共有

C

n m−n+1

放法，所以满足条件的n元子集共有

C

n m−n+1

个；…（6分）
（2）证明：集合F_i（i=1，2，3，…，k）是n元集合，F_i与F_j（i，j=1，2，3，…，n）没有相同的二元子集，否则假如有相同的二元子集，则F_i与F_j至少有两个相同的元素，与题设矛盾，
又因为F_i（i=1，2，3，…，n）的所有二元子集个数为k

C

2 n

且互异，{1，2，3，…，m}中的所有二元子集个数为

C

2 m

，从而k

C

2 n

≤

C

2 m

，即有k≤(m(m−1))/(n(n−1))．　　…（10分）