（2011•遂宁二模）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足an(2bn−1)＝1，记Tn为数列{bn}的前n项和．

Question

（2011•遂宁二模）已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足an(2bn−1)＝1，记T_n为数列{b_n}的前n项和．求证：2T_n+1＜log₂（a_n+3）

Answer 1

（I）n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．
n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}为等差数列，
∵a₁=2，
∴a_n=3n-1．
（II）证明：∵数列{b_n}满足an(2bn−1)＝1，
∴bn＝log2(3n)/(3n−1)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=log2((3)/(2)×(6)/(5)×…×(3n)/(3n−1))
要证2T_n+1＜log₂（a_n+3），即证2log2((3)/(2)×(6)/(5)×…×(3n)/(3n−1))+1＜log₂（a_n+3）
即证((3)/(2)×(6)/(5)×…×(3n)/(3n−1))2＜(3n+2)/(2)
即证(2((3)/(2)×(6)/(5)×…×(3n)/(3n−1))2)/(3n+2)＜1
令cn＝(2((3)/(2)×(6)/(5)×…×(3n)/(3n−1))2)/(3n+2)，
∴(cn+1)/(cn)＝(9n2+18n+9)/(9n2+21n+10)＜1
∵c_n＞0，∴c_n+1＜c_n，
∴{c_n}是单调递减数列
∴cn≤c1＝(2×((3)/(2))2)/(3×1+2)＝(9)/(10)＜1
∴cn＝

2(

作业帮用户 2017-10-27 举报

问题解析

（I）n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0由此能求出a_n．
（II）根据数列{b_n}满足an(2bn−1)＝1，可得bn＝log2

(3)/(2)(3n)/(3n−1)，从而T_n=b₁+b₂+…+b_n=log2((3)/(2)×(6)/(5)×…×(3n)/(3n−1))，利用分析法证明．要证2T_n+1＜log₂（a_n+3），即证2log2((3)/(2)×(6)/(5)×…×(3n)/(3n−1))+1＜log₂（a_n+3），即证(2((3)/(2)×(6)/(5)×…×(3n)/(3n−1))2)/(3n+2)＜1，构造函数cn＝(2((3)/(2)×(6)/(5)×…×(3n)/(3n−1))2)/(3n+2)，可得{c_n}是单调递减数列，即可证出结论．

名师点评

本题考点：

数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式．

考点点评：

本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

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