已知z=t+3+33i，其中t∈C，且t+3t-3为纯虚数．（1）求t的对应点的轨迹；（2）求|z|的最大值和最小值．

Question

已知 z=t+3+3

3

i ，其中t∈C，且 (t+3)/(t-3) 为纯虚数．
（1）求t的对应点的轨迹；
（2）求|z|的最大值和最小值．

Answer 1

（1）设t=x+yi（x，y∈R），
则 (t+3)/(t-3) =(x+3+yi)/(x-3+yi) =([(x+3)+yi][(x-3)-yi])/((x-3 )2 + y2) = (( x2 + y2 -9)-6yi)/((x-3 )2 + y2) ，
∵ (t+3)/(t-3) 为纯虚数，
∴

x 2 + y 2 -9=0

y≠0

，即

x 2 + y 2 =9

y≠0

．
∴t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去（-3，0），（3，0）两点；
（2）由t的轨迹可知，|t|=3，
∴ |z-(3+3

3

)i|=3 ，圆心对应3+ 3

3

i ，半径为3，
∴|z|的最大值为： |3+3

3

i|+3=9 ，
|z|的最小值为： |3+3

3

i|-3=3 ．