设复数z满足4z+2z=3√3+i,ω=sinθ-icosθ(θ∈R)求z的值及|z-ω|的取值范围是4z+2*z的共轭复数=3√3+i

Question

设复数z满足4z+2z=3√3+i,ω=sinθ-icosθ(θ∈R)求z的值及|z-ω|的取值范围
是4z+2*z的共轭复数=3√3+i

Answer 1

第一个问题：
设z＝a＋bi,其中a、b都是实数.则：z的共轭复数为a－bi.
依题意,有：4a＋4bi＋2a－2bi＝3√3＋i,∴6a＋2bi＝3√3＋i,∴6a＝3√3、2b＝1,
∴a＝√3/2、b＝1/2.
∴z＝√3/2＋（1/2）i.
第二个问题：
z－ω＝√3/2＋sinθ＋（1/2－cosθ）i,
∴｜z－ω｜^2
＝（√3/2＋sinθ）^2＋（1/2－cosθ）^2
＝3/4＋√3sinθ＋（sinθ）^2＋1/4－cosθ＋（cosθ）^2
＝2＋2［（√3/2）sinθ－（1/2）cosθ］
＝2＋2（cos30°sinθ－sin30°cosθ）
＝2＋2sin（θ－30°）.
∵sin（θ－30°）的最大值为2,∴｜z－ω｜^2的最大值为4,∴｜z－ω｜的最大值为2.
显然有：｜z－ω｜≧0.
∴｜z－ω｜的取值范围是［0,2］.