设z全属于C,满足|z-i|=3的点的集合是什么图形,并求|z|的最值这题我想知道为甚麼最值是2和4呢?是怎样求出来的?还有解释一下为甚麼呢...|z|-|i|

Question

设z全属于C,满足|z-i|=3的点的集合是什么图形,并求|z|的最值 这题我想知道为甚麼最值是2和4呢?
是怎样求出来的?还有解释一下为甚麼呢...
|z|-|i|

Answer 1

|z-i|=3的点的集合是以点C（0,i）为圆心3为半径的圆C
|z|表示圆C到原点的距离,最值在过原点的直径上,即（0-2i）时最小为2,（0,4i）时最大为4
也可以用参数方程 z=3cosx+3isinx+i=3cosx+i(1+3sinx) x∈[0,2π]
∴|z|=√[(3cosx)^2+(1+3sinx)^2]=√[9+1+6sinx]=√(10+6sinx)
∵-1≤sinx≤1
∴2≤√(10+6sinx)≤4
即 2≤|z|≤4
补充：│a│-│b│≤│a-b│≤│a│+│b│这个不等式也是可以用的,由向量的性质可知,但不具一般性
如：│z-1-i│=1,√2-1≤│z│≤√2+1
而由不等式有：│z│-│1+i│≤│z-1-i│=1≤│z│+│1+i│
得 1-√2≤│z│≤1+√2