（12分）已知函数f(x)=ax3－bx2+(2－b)x+1，在x=x2处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2。（1）证明：a＞0；（2）若z=a+2b，求z的取值范围。

Question

（12分）已知函数f(x)= ax ³ －bx ² +(2－b)x+1，在x=x ₂ 处取得极大值，在x=x ₂ 处取得极小值，且0＜x ₁ ＜1＜x ₂ ＜2。
（1）证明：a＞0；
（2）若z=a+2b，求z的取值范围。

Answer 1

（1）见解析（2）

求函数f′(x)的导数f′(x)=ax ² －2bx+2－b

（1）由函数f(x)在x=x ₁ 处取得极大值，在x=x ₂ 处取得极小值，知x ₁ ，x ₂ 是f’(x)=0的两个根。所以f’(x)=a(x－x ₁ )(x－x ₂ )
当x＜x ₁ 时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，由x－x ₁ ＜0，x－ x ₂ ＜0得a＞0
（2）在题设下，0＜x ₁ ＜1＜x ₂ ＜2等价于 即
化简得 此不等式组表示的区域为平面aob上三条直线：2－b=0，a－3b+2=0，4a－5b+2=0，所围成的 ABC的内部，其三个顶点分别为：A .
在这三点的值依次为 ，所以z的取值范围为