1-1/4=3/4,（1-1/4）（1-1/9）=4/6,（1-1/4）（1-1/9）（1-1/16）=5/8,…,（1-1/4）（1-1/9）…（1-1/n*2）=f(n).猜想出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.

Question

1-1/4=3/4,（1-1/4）（1-1/9）=4/6,（1-1/4）（1-1/9）（1-1/16）=5/8,…,（1-1/4）（1-1/9）…（1-1/n*2）=f(n).猜想出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.

Answer 1

(1-1/4)(1-1/9)……(1-1/n²)=(n+1)/2n
证明
1)
当n=2时
1-1/4=(2+1)/2*2=3/4
2)
假定n=k(k≥2)时(1-1/4)(1-1/9)……(1-1/n²)=(n+1)/2n成立
当n=k+1时
(1-1/4)(1-1/9)……[1-1/(n+1)²]
=[(n+1)/2n]*[(n+1)²-1]/(n+1)²
=(n+2)/2(n+1)
根据1) 2)
(1-1/4)(1-1/9)……(1-1/n²)=(n+1)/2n对n≥2成立