已知数列1/1*4,1/4*7,1/7*10,.1/(3n-2)(3n+1)(1)计算S1S2S3(2)根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明?

Question

已知数列1/1*4 ,1/4*7 ,1/7*10 ,.1/(3n-2)(3n+1)
(1 )计算S1 S2 S3
(2)根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明?

Answer 1

S1=1/4=1/(1×3+1)
S2=2/7=2/(2×3+1)
S3=3/10=3/(3×3+1)
猜想Sn=n/(3n+1)
用数学归纳法证明如下：
当n=1时上边已验证成立.
假设当n=k时该结论成立,即Sk=k/(3k+1)
当n=k+1时,S(k+1)=k/(3k+1)+1/(3k+1)(3k+4)=[k(3k+4)+1]/(3k+1)(3k+4)
=(3k^2+4k+1)/(3k+1)(3k+4)=(k+1)(3k+1)/(3k+1)(3k+4)=(k+1)/(3k+4)
即S(k+1)=(k+1)/(3k+4),结论依然成立.