数列{an}满足a1=1且an+1＝(1+1n2+n)an+12n(n≥1)．（1）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）（2）设bn＝an+1−anan，证明数列{bn}的前n项和Sn＜74（3）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜2e34（n≥

Question

数列{a_n}满足a₁=1且an+1＝(1+(1)/(n2+n))an+(1)/(2n)(n≥1)．
（1）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）
（2）设bn＝(an+1−an)/(an)，证明数列{b_n}的前n项和Sn＜(7)/(4)
（3）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜2e(3)/(4)（n≥1）（其中无理数e=2.71828…）

Answer 1

证明：（1）①当n=2 时，a2=2，不等式成立．②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2，那么ak+1＝(1+1k2+k)ak+12k＞ak≥2．即当n=k+1时不等式成立．根据①②可知：an≥2对 n≥2成立．…（4分）（2）∵an...