设a＞0,b＞0,证明方程x=asinx+b至少有一个正根,并且它不超过a+b.

Question

设a＞0,b＞0,证明方程x=asinx+b至少有一个正根,并且它不超过a+b.

Answer 1

证:令 f(x)=x-asinx-b,则函数f(x)在闭区间[0,a+b]上连续
且 f(0) = -b＜0,f(a+b) = a(1 - sinx)≥0
当f(a+b) = 0 ,易得 x = a+b;
当f(a+b)＞0 ,由根的存在定理,至少存在一点ζ∈（0,a+b),使得 f(ζ) = 0
所以方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,并且它不超过a+b