已知函数f（x）=m（x-1x）+2lnx（m∈R）．（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Question

已知函数f（x）=m（x-(1)/(x)）+2lnx（m∈R）．
（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）当m=1时，函数f(x)＝x−(1)/(x)+2lnx，函数的定义域为（0，+∞），
∴f′(x)＝(x2+2x+1)/(x2)，
∴f（1）=0，k=f'（1）=4，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为4x-y-4=0，
（Ⅱ）∵f（x）=m（x-(1)/(x)）+2lnx，函数的定义域为（0，+∞），
∴f′(x)＝(mx2+2x+m)/(x2)
（1）当m≥0时，f'（x）＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）当m＜0时，
①当m≤-1时，f'（x）≤0在x∈（0，+∞）时恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，
②当-1＜m＜0时，由f'（x）=0得x1＝(−1+√(1−m2))/(m)，x2＝(−1−√(1−m2))/(m)，且0＜x₁＜x₂，

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减		增		减

∴f（x）在(0，(−1+√(1−m2))/(m))和((−1−√(1−m2))/(m)，+∞)上单调递减，
f（x）在((−1+√(1−m2))/(m)，(−1−√(1−m2))/(m))上单调递增．