设Σ是由曲线z＝y−1x＝0（1≤y≤3）绕y轴旋转一周所形成的曲面，其法向量正向与y轴正向夹角恒大于π2，计算曲面积分I=∬Σ(4xy+x2)dydz+(1−y2)dzdx−(yz−z2)dxdyy−x2−z2．

Question

设Σ是由曲线

 z＝√(y−1)

 x＝0

（1≤y≤3）绕y轴旋转一周所形成的曲面，其法向量正向与y轴正向夹角恒大于(π)/(2)，计算曲面积分I=

∬

Σ

((4xy+x2)dydz+(1−y2)dzdx−(yz−z2)dxdy)/(y−x2−z2)．

Answer 1

由已知条件可得，
∑为曲面x²+z²=y-1的左侧，
故
I=

∬

((4xy+x2)dydz+(1−y2)dzdx−(yz−z2)dxdy)/(y−x2−z2)
=

∬

(4xy+x2)dydz+(1−y2)dzdx−(yz−z2)dxdy．
添加曲面∑₁为

x2+z2≤2

y＝3

的右侧，则∑+∑₁ 构成封闭曲面．
设∑+∑₁ 所围的空间区域为Ω，
设 I₁=

∬

∑1

(4xy+x2)dydz+(1−y2)dzdx−(yz−z2)dxdy，
则利用高斯公式可得，
I+I₁=

∭

Ω

(2x+(−2y)−(y−2z))dxdydz
=

∭

Ω

(2x−3y+2z)dxdydz．
因为积分区域关于平面xoy与yoz对称，
故

∭

Ω

xdxdydz=

∭

Ω

zdxdydz=0．
又因为　
 

∭

Ω

ydxdydz 
=

∫

3 1

ydy

∬

x2+z2≤y−1

dxdz
=

∫

3 1

πy(y−1)dy
=π((1)/(3)y3−(1)/(2)y2)

|

3 1

=(14)/(3)π．
所以 I+I₁=（-3）×(14)/(3)π=-14π．
因为 
I₁=

∬

∑1

(4xy+x2)dydz+(1−y2)dzdx−(yz−z2)dxdy，
=

∬

∑1

(−8)dzdx
=-

∬

x2+z2≤2

8dxdz
=-16π．
所以 I=-14π-（-16π）=2π．