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函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-5,-1)上是增函数,求证f(x)在(1,5)上是减函数
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函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-5,-1)上是增函数,求证f(x)在(1,5)上是减函数
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答案和解析
设1＜x1＜x2＜5 ,则﹣5＜﹣x2＜﹣x1＜﹣1
∵函数f(x)在(-5,-1)上是增函数 ∴f(﹣x2)＜f(﹣x1)
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数 ∴f(﹣x)＝f(x)
∴f(x2)＜f(x1) 即1＜x1＜x2＜5时,f(x2)＜f(x1)
∴f(x)在(1,5)上是减函数
∵函数f(x)在(-5,-1)上是增函数 ∴f(﹣x2)＜f(﹣x1)
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数 ∴f(﹣x)＝f(x)
∴f(x2)＜f(x1) 即1＜x1＜x2＜5时,f(x2)＜f(x1)
∴f(x)在(1,5)上是减函数
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