定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0),且当x>1时,f(x)>0(1)求证：f(x)(0,+∞）上是增函数；（2）当f(2)=1时,解不等式f(x+2)-f(2x）>2

Question

定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n) (m,n>0),且当x>1时,f(x)>0
(1) 求证：f(x)(0,+∞）上是增函数；
（2）当f(2)=1时,解不等式f(x+2)-f(2x）>2

Answer 1

（1）设0＜x1＜x2,则x2/x1>1
∵当x＞1时,f（x）＞0
∴f(x2/x1)＞0
f(x2)=f[x1×(x2/x1)]=f(x1)+f(x2/x1)＞f(x1)
所以f（x）在（0,+∞）上是增函数
(2) f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2
f(x+2)-f(2x）>2=f(4)
∴f(x+2)>f(4)+f(2x）=f(8x)
∵f（x）在（0,+∞）上是增函数
∴当x+2>0且x>0时,x+2>8x
∴x