f(x)在闭区间[a,b]连续,在开区间(a,b)可导,f(a)=a,f(b)=b,证明存在ξ1,ξ2∈(a,b),使得1/f(ξ1)+1/f(ξ2)=2

Question

f(x)在闭区间[a,b]连续,在开区间(a,b)可导,f(a)=a,f(b)=b,证明存在ξ1,ξ2∈(a,b),使得
1/f(ξ1)+1/f(ξ2)=2

Answer 1

我想原题应该是要证明1/f'(ξ1)+1/f'(ξ2)=2
因为如果是1/f(ξ1)+1/f(ξ2)=2的话,我可以有反例：
f(x)=x²,a=0,b=1,令0 2

所以题目只能是 1/f'(ξ1)+1/f'(ξ2)=2

由题中条件有
存在ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=[f(a)-f(b)]/(a-b) = (a-b)/(a-b)=1
设F(x)=f(x)-x,则F‘(x)=f’(x)-1
假设对于任意x1∈(a,ξ),都有F‘(x1)=f’(x1)-1>0,且对于任意x2∈(ξ,b)都有F‘(x2)=f’(x2)-1>0
即恒有f’(x1)>1且f’(x2)>1,即1/f'(x1)+1/f'(x2)恒大于2,
也就是说F(x)在(a,b)单调递增.由于F(a)=f(a)-a=0,而b>a,这与F(b)=f(b)-b=0相矛盾.
所以命题对于任意x1∈(a,ξ),都有F‘(x1)=f’(x1)-1>0,且对于任意x2∈(ξ,b)都有F‘(x2)=f’(x2)-1>0 不成立.
同理,命题对于任意x1∈(a,ξ),都有F‘(x1)=f’(x1)-1