已知数列{an}的前n项和Sn=n3-10n2（∀n∈N*）．（1）求an；（2）求集合{n|an＜0，n∈N*}（用列举法表示）．

Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n³-10n²（∀n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）求集合{n|a_n＜0，n∈N^*}（用列举法表示）．

Answer 1

（1）n=1时，a₁=S₁=-9…（1分），
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n³-10n²-[（n-1）³-10（n-1）²]
=3n²-23n+11，…（5分）
n=1时，3n²-23n+11=-9，…（6分）
∀n∈N^*，an＝3n2−23n+11．…（7分）
（2）方法一：由（1）得an＝3n2−23n+11＜0，…（8分）
(23−√(397))/(2×3)＜n＜(23+√(397))/(2×3)…（10分）
∵∀n∈N^*，∴1≤n≤7，…（12分）
∴所求集合{n|an＜0，n∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7}．…（13分）
（2）方法二：设f（x）=x³-10x²，x∈[1，+∞），
则f′（x）=3x²-20x，…（10分）
由f′（x）=3x²-20x＜0，得0＜x＜(20)/(3)，…（11分）
由0＜n−1＜(20)/(3)，
∀n∈N^*得n=2，3，4，5，6，7…（12分），
a₁=S₁=-9＜0，a₈=S₈-S₇=19＞0，
∴{n|an＜0，n∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7}．…（13分）