已知正数数列﹛an﹜中,a﹦1,前n项和为Sn,对任意n∈N*.lgSn、lgn、lg(1/a已知正数数列﹛an﹜中,a﹦1,前n项和为Sn,对任意n∈N*.lgSn、lgn、lg(1/an)成等差数列.1.求an和Sn2.设bn=Sn/n,数列bn的前N项和为Tn当n大

Question

已知正数数列﹛an﹜中,a﹦1,前n项和为Sn,对任意n∈N*.lgSn、lgn、lg(1/a
已知正数数列﹛an﹜中,a﹦1,前n项和为Sn,对任意n∈N*.lgSn、lgn、lg(1/an)成等差数列.
1.求an和Sn
2.设bn=Sn/n,数列bn的前N项和为Tn
当n大于或等于2时,证明：Sn

Answer 1

lgSn、lgn、lg(1/an)成等差数列 所以 2lgn=lgSn+lg(1/an) 所以 n^2=Sn/an
所以 Sn=n^2*an ①
S(n-1)= (n-1)^2*a(n-1) ②
①-②有 an=Sn-S(n-1)=n^2*an-(n-1)^2*a(n-1)
所以 (n-1)^2*a(n-1)=(n^2-1)an
所以 an/a(n-1)= (n-1)/(n+1)
a(n-1)/a(n-2)= (n-2)/(n)
a(n-2)/a(n-3)= (n-3)/(n-1)
a(n-3)/a(n-4)= (n-4)/(n-2)
.
a3/a2=2/4
a2/a1=1/3
上面式相乘
an/a1=2/n*(n+1)
所以an=2（1/n-1/(n+1)）