已知函数f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+12x2，其中e是自然对数的底数，f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数g（x）=12x2+a与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰

Question

已知函数f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+(1)/(2)x²，其中e是自然对数的底数，f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=(1)/(2)x²+a与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，
令x=1，得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，
即f（0）=1．…（2分）
又f（0）=(f′(1))/(e)，所以f′（1）=e．
从而f（x）=e^x-x+(1)/(2)x2．…（4分）
（Ⅱ）由f（x）=g（x）得a=e^x-x．
令h（x）=e^x-x，则h′（x）=e^x-1．…（6分）
由h′（x）=0，得x=0．
所以当x∈（-1，0）时，h′（x）＜0；
当x∈（0，2）时，h′（x）＞0．
∴h（x）在（-1，0）上单调递减，
在（0，2）上单调递增．…（8分）
又h（0）=1，h（-1）=1+(1)/(e)，h（2）=e²-2，
且h（-1）＜h（2）．…（10分）
∴两个图象恰有两个不同的交点时，实数a的取值范围是（1，1+(1)/(e)]．…（12分）