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若自然数x，y满足x>y，x+y=2A，xy=G2，若A，G都是两位数，且互为反序数，求x，y．（注：数字排列顺序相反的两个数互为反序数，如12和21）
题目详情
若自然数x，y满足x>y，x+y=2A，xy=G2，若A，G都是两位数，且互为反序数，求x，y．（注：数字排列顺序相反的两个数互为反序数，如12和21）
▼优质解答
答案和解析
设A=10a+b，则G=10b+a，其中a和b都是1到9的自然数，则
x+y=20a+2b，xy=（10b+a）2=100b2+20ab+a2，
∴（x+y）2=（20a+2b）2=400a2+80ab+4b2，
（x-y）2=（x+y）2-4xy=396a2-396b2=22×32×11（a+b）（a-b），
因为x、y都是自然数，所以（x-y）2是完全平方数，
所以（a+b）和（a-b）中必有一个是11的倍数，
∵a和b都是1到9的自然数，
∴a+b=11，
于是a-b也是一个完全平方数，
只能a=6，b=5，
所以（x-y）2=（2×3×11）2，
∴x-y=66，
x+y=20a+2b=130，
解得：x=98，y=32．
x+y=20a+2b，xy=（10b+a）2=100b2+20ab+a2，
∴（x+y）2=（20a+2b）2=400a2+80ab+4b2，
（x-y）2=（x+y）2-4xy=396a2-396b2=22×32×11（a+b）（a-b），
因为x、y都是自然数，所以（x-y）2是完全平方数，
所以（a+b）和（a-b）中必有一个是11的倍数，
∵a和b都是1到9的自然数，
∴a+b=11，
于是a-b也是一个完全平方数，
只能a=6，b=5，
所以（x-y）2=（2×3×11）2，
∴x-y=66，
x+y=20a+2b=130，
解得：x=98，y=32．
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