已知函数f(x)=x+a²/x,g（x）=x+lnx，其中a＞0．(1)若函数y=f(x)在[1,e]上的图像恒在y=g(x)的上方，求实数a的取值范围.(2)若对任意的x1,x2∈[1,e]（e自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立,求实

Question

已知函数f(x)=x+a²/x,g（x）=x+lnx，其中a＞0．(1)若函数y=f(x)在[1,e]上的图像恒在y=g(x)的上方，求实数a的取值范围.(2) 若对任意的x1,x2∈[1,e]（e自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立,求实数a的取值范围

Answer 1

（1）
f(x)>g(x)在[1,e]恒成立，即
x+a²/x>x+lnx在[1,e]恒成立
也即a²>xlnx恒成立 ①
由于x,和lnx在[1,e]都是单调增函数，因此xlnx在[1,e]也单调增。
即此区间上xlnx∈[1ln1,elne]即xlnx∈[0,e]
则根据①可知，a²>e，又因为a>0，所以
a的取值范围是(√e,+∞)
(2)
由题意可知，f(x)≥g(x)在[1,e]恒成立，即
x+a²/x≥x+lnx
即a²≥xlnx在[1,e]恒成立
而根据（1）的讨论，可知xlnx∈[0,e]
所以a²≥e，又因为a>0，
所以a的取值范围是[√e,+∞)