设函数f（x）在x=0的某邻域内有连续的三阶导数，当x≠0时，f（x）≠0，且F（x）=tanx−sinxf(x)x≠01x＝0在x=0处连续，求f（0）、f′（0）、f″（0）、f″′（0）．

Question

设函数f（x）在x=0的某邻域内有连续的三阶导数，当x≠0时，f（x）≠0，且F（x）=

(tanx−sinx)/(f(x))	x≠0
1	x＝0

在x=0处连续，求f（0）、f′（0）、f″（0）、f″′（0）．

Answer 1

【解法1】
（1）因为F（x）在x=0处连续，
所以

lim

x→0

F(x)=

lim

x→0

(tanx−sinx)/(f(x))=F（0）=1．①
因为

lim

x→0

(tanx−sinx)=0，
所以 f（0）=

lim

x→0

f(x)=0．
（2）由①，利用洛必达法则可得，
1=

lim

x→0

((1)/(cos2x)−cosx)/(f′(x))，②
又因为

lim

x→0

((1)/(cos2x)−cosx)=0，
所以 f′（0）=

lim

x→0

f′(x)=0．
（3）由②可得，
1=

lim

x→0

((2sinx)/(cos3x)+sinx)/(f″(x))，③
又因为

lim

x→0

((2sinx)/(cos3x)+sinx)=0，
所以

lim

x→0

f″(x)=0．
（4）由③可得，
1=

lim

x→0

((6sin2x)/(cos4x)+(2)/(cos2x)+cosx)/(f″′(x))，
又因为

lim

x→0

((6sin2x)/(cos4x)+(2)/(cos2x)+cosx)=3，
所以 f″′（0）=

lim

x→0

f″′(x)=3．
故f（0）=f′（0）=f″（0）=0，f″′（0）=3．
【解法2】
因为F（x）在x=0处连续，
所以

lim

x→0

F(x)=

lim

x→0

(tanx−sinx)/(f(x))=F（0）=1，
故当x→0时，f（x）～tanx-sinx．
令g（x）=tanx-sinx，
则
g′（0）=（tanx-sinx）′|_x=0=

作业帮用户 2016-12-10