f(x)在[0,正无穷)上单增且有界,f(x)在（0,正无穷）内有二阶导且二阶导小于0,证x趋近正无穷f’(x)=0

Question

f(x)在[0,正无穷)上单增且有界,f(x)在（0,正无穷）内有二阶导且二阶导小于0,证x趋近正无穷f ’(x)=0

Answer 1

因为f(x)在[0,正无穷)上单增且有界,故由单调有界定理得(x→+∞)limf(x)存在
不妨设(x→+∞)limf(x)=a,又因为有二阶导数,故一阶导数存在且连续
根据Lagrange中值定理得：存在ξ∈(x,x+1)使得f(x+1)-f(x)=f'(ξ)*(x+1-x)
在等式两边同取极限(x→+∞)：lim(f(x+1)-f(x))=limf'(ξ)
即有：limf(x+1)-limf(x)=a-a=0=limf'(ξ)(x→+∞)
注意到：当x→+∞时,必有ξ→+∞,故有(ξ→+∞)limf'(ξ)=0
改写符号有：(x→+∞)limf'(x)=0
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