高等数学问题设f(0)=0则f(x)在点x=0可导的充要条件是：其中有个选项是limf(h-sinh)/h^2h趋近于0请问这个怎么看书上说这个只能保证f(x)在x=0的右导数存在,不能保证f(x)在x=0可导,所以这个选

Question

高等数学问题
设f(0)=0 则f(x)在点x=0可导的充要条件是：其中有个选项是 lim f(h-sinh)/h^2  h趋近于0 请问这个怎么看  书上说 这个只能保证f(x)在x=0的右导数存在,不能保证f(x)在x=0可导,所以这个选项错误.              

Answer 1

根据导数的定义可以写出 f(x)在点x=0可导的充要条件是
lim [f(h-sinh)-f(0)]/[(h-sinh)-0] h趋近于0 存在.
又
lim f(h-sinh)/h^2
=lim {[f(h-sinh)-f(0)]/[(h-sinh)-0]}*[(h-sinh)/h^2]
可以发现 当h趋近于0时,[(h-sinh)/h^2]=0,
这个时候[f(h-sinh)-f(0)]/[(h-sinh)-0]只要有界,
那么 lim f(h-sinh)/h^2 就可以存在,
无法保证 [f(h-sinh)-f(0)]/[(h-sinh)-0] 在h趋近于0 时存在,
所以无法保证 f(x)在x=0 可导.连右导数也不能保证.