f(x)=∫(下限x上限x+π\2)|sint|dt,求f(x)最大最小值FX周期为π已知.

Question

f(x)= ∫ (下限x上限x+π\2) |sint| dt ,求f(x) 最大最小值
FX周期为π已知.

Answer 1

令：f'(x)=[∫(x,a)|sint|dt)+∫(a,x+π/2)|sint|dt]'
=-|sinx|+|sin(x+π/2)|=|cosx|-|sinx|=0
得：sinx=±cosx
sinx±cosx=0
√2sin(x±π/4)=0
得：x±π/4=kπ
x=kπ±π/4=kπ/2+π/4（稳定点）
取k=0,x=π/4
f(π/4)=∫|sint|dt=∫sintdt=- cost|=√2;
取k=1,x=π/4+π/2
f(π/4+π/2)=∫|sint|dt=∫|sint|dt
=∫sintdt-∫sintdt
=- cost|+cost|=(1-√2/2)+(-√2/2+1)=2-√2.
所以：f(x)的最大值为：√2；最小值为2-√2.