求方程xy′=ylnyx满足y（1）=e2的特解．

Question

求方程xy′=yln(y)/(x)满足y（1）=e²的特解．

Answer 1

由xy′＝yln(y)/(x)，得
y′＝(y)/(x)ln(y)/(x)
这是齐次方程，令(y)/(x)＝u，即y=ux，
则
u+xu′=ulnu
即
(du)/(u(lnu−1))＝(dx)/(x)
两边积分，得
ln|lnu-1|=ln|x|+C，C为常数
由y（1）=e²，知u(1)＝(e2)/(1)＝e2
从而C=0
∴ln|lnu-1|=ln|x|
∴lnu-1=x
∴u=e^x+1
∴y=xe^x+1．