已知sin2t为四阶常系数微分方程特解,可推出cos2t也是其特解

Question

已知sin2t为四阶常系数微分方程特解,可推出cos2t也是其特解

Answer 1

如果一个关于x(t)的微分方程不显含t,
则对方程的任意一个解x = f(t),以及任意常数c,
可以证明x = f(t+c)也是方程的解.
原因很简单,容易得到:
(f(t+c))' = f'(t+c),(f(t+c))" = f"(t+c),...
因为x = f(t)是方程的解,其各阶导数对任意t均使等式成立.
而方程不显含t,所以将t换成t+c仍成立,于是x = f(t+c)也是方程的解.
注意到cos(2t) = sin(2(t+π/4)).
所以当sin(2t)是解时,cos(2t)也是解.