设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，an为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+an=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ

Question

设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2k+1（k∈N^*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n），试证：
（1）|Sk|≤(1)/(2)；     
（2）|

n

i＝1

(ai)/(i)|≤(1)/(2)−(1)/(2n)．

Answer 1

（本题14分）
（Ⅰ）数列−(1)/(2)，0，(1)/(2)为三阶期待数列…（1分）
数列−(3)/(8)，−(1)/(8)，(1)/(8)，(3)/(8)为四阶期待数列，…..…..（3分）（其它答案酌情给分）
（Ⅱ）设等差数列a₁，a₂，a₃，…，a_2k+1（k≥1）的公差为d，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_2k+1=0，
∴(2k+1)a1+(2k(2k+1)d)/(2)＝0，
所以a₁+kd=0，
即a_k+1=0，∴a_k+2=d，…（4分）
当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，…（5分）
当d＞0时，据期待数列的条件①②得：ak+2+ak+3+…+a2k+1＝(1)/(2)，
∴kd+(k(k−1))/(2)d＝(1)/(2)，即d＝(1)/(k(k+1))
由a_k+1=0得 a1+k•(1)/(k(k+1))＝0，即 a1＝−(1)/(k+1)，
∴an＝−(1)/(k+1)+(n−1)(1)/(k(k+1))＝(n)/(k(k+1))−(1)/(k)(n∈N*，n≤2k+1)．…（7分）
当d＜0时，
同理可得kd+(k(k−1))/(2)d＝−(1)/(2)，即d＝−(1)/(k(k+1))，
由a_k+1=0得 a1−k•(1)/(k(k+1))＝0，即 a1＝(1)/(k+1)
∴an＝(1)/(k+1)−(n−1)(1)/(k(k+1))＝−(n)/(k(k+1))+(1)/(k)(n∈N*，n≤2n+1)．…（8分）
（Ⅲ）（1）当k=n时，显然|Sn|＝0≤(1)/(2)成立；…（9分）
当k＜n时，据条件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|
≤|a₁|+|a₂|+…+|a_k|+|a_k+1|+|a_k+2|+…+|a_n|=1，
∴|Sk|≤(1)/(2)(k＝1，2，3，…，n)．…（11分）
(2)|

n

i＝1

(ai)/(i)|＝|(a1)/(1)+(a2)/(2)+(a3)/(3)+(a4)/(4)+…+(an−1)/(n−1)+(an)/(n)|
=|S1+(S2−S1)/(2)+(S3−S2)/(3)+(S4−S3)/(4)+…+(Sn−1−Sn−2)/(n−1)+(Sn−Sn−1)/(n)|
=|(S1)/(2)+(S2)/(2×3)+(S3)/(3×4)+(S4)/(4×5)+…+(Sn−1)/((n−1)n)+(Sn)/(n)|
≤|(S1)/(2)|+|(S2)/(2×3)|+|(S3)/(3×4)|+|(S4)/(4×5)|+…+|(Sn−1)/((n−1)n)|
≤(1)/(2)((1)/(2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+(1)/(4×5)+…+(1)/((n−1)n))
=(1)/(2)((1)/(2)+(1)/(2)−(1)/(3)+(1)/(3)−(1)/(4)+(1)/(4)−(1)/(5)+…+(1)/(n−1)−(1)/(n))
=(1)/(2)−(1)/(2n)．…（14分）