关于齐次线性方程组的解的判断题设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,则下列命题①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则r(A)≥r(B)②若秩r(A)≥r(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解③若Ax=0与Bx=0同解,则

Question

关于齐次线性方程组的解的判断题
设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,则下列命题
①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则r(A)≥r(B)
②若秩r(A)≥r(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解
③若Ax=0与Bx=0同解,则秩r(A)=r(B)
④若秩r(A)=r(B),则Ax=0与Bx=0同解
请老师举例说明以上命题是否正确,

Answer 1

一个线性方程组Ax = 0的解是线性空间,解空间的维数为n-r(A)
（1）对.由线性空间的包含关系推出维数的大小关系,即：
n- r(A) = r(B);
（2）不对.因为维数的大小关系不能推出线性空间的包含关系.如
A = (1,0,...,0) B = (0,1,0,...,0),那么x1 = (0,1,0,...,0)是第一个方程的解,不是第二个方程的解
（3）对.线性空间相同.所以维数相同.
（4）不对.理由同（2）.例子也同（2）